Некоторые элементы теории прочности. Радиус, момент инерции круглой трубы

Нормативные документы, стандарты на трубы среди прочих характеристик выделяют «момент» и «радиус» инерции. Эти величины важны при решении задач по определению напряжений в изделиях с заданными геометрическими параметрами либо при выборе наилучшей сопротивляемости кручению или изгибу. Момент и радиус инерции круглых труб используются также для расчета прочности конструкции.

Устойчивость сооружений из стальных труб зависит от того, насколько правильно произведены расчеты показателей прочности трубных изделий

Суть теории прочности

Теории прочности применяются для проведения оценки стойкости конструкций при воздействии объемного либо плоского напряженных состояний. Эти задачи отличаются высокой сложностью, поскольку при двух-, трехосном напряженном состоянии соотношения между касательными и нормальными напряжениями очень разнообразны.

Математическое описание системы влияния – тензор напряжений – содержит 9 компонентов, 6 из которых являются независимыми. Упростить задачу можно рассмотрением не шести, а трех главных напряжений. При этом требуется нахождение такой их комбинации, которая была бы равноопасна простому сжатию либо растяжению т. е. линейному напряженному состоянию.

Суть теорий (критериев, гипотез) прочности основана на определении преимущественного влияния того либо иного фактора и подборе соответствующего эквивалентного напряжения, а потом – сопоставлении его с более простым одноосным растяжением.

Среди причин наступления опасного состояния выделяют:

• нормальные напряжения;
• линейные деформации;
• касательные напряжения;
• энергия деформации и др.

Изгиб трубы — это также вид деформации, она бывает двух типов

Появление больших остаточных деформаций для пластичных материалов и трещин – для хрупких лежит на границе области упругого деформирования. Это дает возможность при вычислениях использовать формулы, которые выведены при условиях применимости закона Гука.

Виды деформации конструкции

Часто трубы различной формы сечения (квадратной или круглой) являются основой различных конструкций. При этом они могут подвергаться одному из таких возможных воздействий:

• растяжению;
• сжатию;
• сдвигу;
• изгибу;
• кручению.

Вне зависимости от материала исполнения трубы по своей природе не являются абсолютно жесткими изделиями и под действием внешних сил могут деформироваться (т. е. в какой-то степени поменять свои размеры и форму). В определенный момент точки конструкции могут поменять положение в пространстве.

Обратите внимание! Интенсивность изменения размеров может быть описано при помощи линейных деформаций, а формы – сдвиговых деформаций.

После снятия нагрузки деформации могут либо полностью, либо частично исчезнуть. В первом случае они называются упругими, во втором – пластические или остаточные. Свойство трубы после разгрузки принимать первоначальную форму называют упругостью. Если известны деформации во всех точках и условия крепления изделий, то есть возможность определить перемещения абсолютно всех элементов конструкции.

Любая конструкция из круглых труб имеет свои условия жесткости

Нормальная эксплуатация сооружений предполагает, что деформации отдельных его частей должны быть упругими, а перемещения, которые ими вызываются, не должны превосходить допустимые значения. Такие требования, выраженные математическими уравнениями, называются условиями жесткости.

Элементы теории кручения трубы

В основу теории кручения трубы круглого сечения положены следующие предположения:

• в поперечных сечениях изделия не возникают другие напряжения, кроме касательных;
• при повороте поперечных сечений радиус не искривляется, оставаясь плоским.

При закручивании правое сечение претерпит поворот относительно левого на угол dφ. При этом бесконечно малый элемент трубы mnpq сдвинется на величину nn´/mn.

Опустив промежуточные вычисления, можно получить формулу, по которой определяется крутящий момент:

Mk=GθIp,

где G – вес; θ – относительный угол закручивания, равен dφ/dz; Ip – момент инерции (полярный).

Положим, что сечение трубы характеризует наружный (r1) и внутренний (r2) радиус и величина α= r2/ r1. Тогда момент (полярный) инерции можно определить по формуле:

Ip=(π r1⁴/32)(1- α⁴).

Если расчеты проводятся для тонкостенной трубы (когда α≥0,9), то можно применять приближенную формулу:

Ip≈0,25π rср⁴t,

В некоторых конструкциях трубы могут подвергаться такому типу деформации, как кручение

где rср – средний радиус.

Касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении, распределяются вдоль радиуса трубы по линейному закону. Их максимальные значение соответствуют точкам, которые наиболее удалены от оси. Для кольцевого сечения, может быть также определен полярный момент сопротивления:

Wp≈0,2r1³(1-α⁴).

Понятие момента инерции круглой трубы

Момент инерции – это одна из характеристик распределения массы тела, равная сумме произведений квадратов расстояний точек тела от данной оси на их массы. Эта величина всегда положительна и не равна нулю. Осевой момент инерции играет важную роль при вращательном движении тела и напрямую зависит от распределения его массы относительно выбранной оси вращения.

Чем большей массой обладает труба и чем дальше она отстоит от некоторой воображаемой оси вращения, тем больший момент инерции ей принадлежит. Значение этой величины зависит от формы, массы, размеров трубы, а также положения оси вращения.

Параметр важен при выполнении расчетов на изгиб изделия, когда на него влияет внешняя нагрузка. Зависимость между величиной прогиба и моментом инерции носит обратно пропорциональный характер. Чем больше значение этого параметра, тем меньше будет величина прогиба и наоборот.

При расчетах важно учитывать такие параметры труб, как диаметр, толщина стенок и вес

Не следует путать понятия момента инерции тела и плоской фигуры. Последний параметр равен сумме произведений квадратов расстояний от плоских точек до рассматриваемой оси на их площади.

Понятие радиуса инерции трубы

В общем случае радиус инерции тела относительно какой-либо оси х – это такое расстояние i, квадрат которого при умножении на массу тела равняется его моменту инерции относительно этой же оси. Т. е. справедливо выражение

I_x=m i².

К примеру, для цилиндра относительно его продольной оси радиус инерции равен R√2/2, для шара относительно любой оси – R√2/√5.

Обратите внимание! В сопротивлении труб продольному изгибу основную роль играет ее гибкость, а следовательно – наименьшее значение радиуса инерции сечения.  

Величина радиуса геометрически равна расстоянию от оси к точке, в которой необходимо сосредоточить всю массу тела, чтобы момент инерции в этой одной точке равнялся моменту инерции тела. Также выделяют понятие радиуса инерции сечения – его геометрическую характеристику, которая связывает момент инерции и площадь.

Формулы расчета для некоторых простых фигур

Различные формы поперечного сечения изделий имеют разный момент и радиус инерции. Соответствующие значения даны в таблице (x и y – горизонтальная и вертикальная оси соответственно).

Таблица 1

Особенности прогиба изделий

Изгиб – это такой вид нагружения, во время которого в поперечных сечениях трубы (стержня) появляются изгибающие моменты. Выделяют такие разновидности изгиба:

• чистый;
• поперечный.

В изогнутой трубе внешний слой находится в растянутом состоянии, а внутренний — в сжатом

Первый тип изгибов происходит, когда единственным силовым фактором является изгибающий момент, второй – когда вместе с изгибающим моментом появляется поперечная сила. Когда нагрузки при этом находятся в какой-либо плоскости симметрии, то при таких условиях труба испытывает прямой плоский изгиб. Во время сгибания волокна, которые расположены с выпуклой стороны, испытывают растяжение, а с вогнутой – сжатие. Имеет место также некоторый слой волокон, которые не изменяют первоначальной длины. Они находятся в нейтральном слое.

Обратите внимание! Наибольшему растягивающему либо сжимающему напряжению подвержены наиболее удаленные от нейтральной оси точки.

Если волокно располагается на расстоянии у от нейтрального слоя с радиусом кривизны μ, то относительное его удлинение равно у/μ. Используя закон Гука и опустив все промежуточные вычисления, получим выражение для напряжения:

σ=yM_x/I_x,

где M_x – изгибающий момент, I_x – момент инерции, связанный с i_x (радиусом инерции трубы (квадратной, круглой)) соотношением i_x=√(I_x/A), А – площадь.

Стандарт на проверку прочности трубопроводов

Нормативными документами определены методы расчета трубопроводов на вибрацию, сейсмические воздействия и прочность. Например, ГОСТ 32388 от 2013 года распространяет свое действие на технологические трубопроводы, которые работают под давлением, наружным давлением либо вакуумом и выполненные из легированных, углеродистых сталей, меди, титана, алюминия и сплавов из них.

Также стандарт касается труб из полимеров с температурой до ста градусов и давлением (рабочим) до 1 тыс. кПа, которые транспортируют газообразные и жидкие вещества.

Документом определены требования к нахождению толщины стенок труб под воздействием избыточного внутреннего и внешнего давления. Кроме того, устанавливаются методы расчета на устойчивость и прочность таких трубопроводов. ГОСТ предназначен для тех специалистов, которые осуществляют строительство, проектирование или реконструкцию технологических магистралей газовой, нефтеперерабатывающей, химической, нефтехимической и иных смежных отраслей промышленности.

Прочность и устойчивость труб являются важными показателями качества и долговечности изделий. Расчеты параметров, определяющих такие характеристики, отличаются громоздкостью и сложностью.